Чем можно промыть или прочистить фильтр не разбирая можно ли использовать что-то...

Не рекомендую, так как в фильтре могут оставаться предметы(пуговицы. монеты) на которые не подействуют никакие (тиреты и так далее) прочистить и разобрать фильтр необходимо

а как в посудомойку могут попасть пуговицы и монеты?

Ваш ответ подходит к стиралке